Como expresamos los resultados?
Cifras significativas
Cuando realizamos una medición con una regla graduada en milímetros, está claro que, si somos cuidadosos, podremos asegurar nuestro resultado hasta la cifra de los milímetros o, en el mejor de los casos, con una fracción del milímetro, pero no más. De este modo nuestro resultado podría ser L = (95.5 ± 0.5)mm, o bien L (95 ±1) mm. En el primer caso decimos que nuestra medición tiene tres cifras significativas y en el segundo caso sólo dos. El número de cifras significativas es igual al número de dígitos contenidos en el resultado de la medición que están a la izquierda del primer dígito afectado por el error, incluyendo este dígito.
El primer dígito, o sea el que está más a la izquierda, es el más significativo (9 en nuestro caso) y el último (más a la derecha) el menos significativo, ya que es en el que tenemos “menos seguridad”. Nótese que carece de sentido incluir en nuestro resultado de L (longitud), más cifras que aquellas en donde tenemos incertidumbres (donde “cae” el error).
No es correcto expresar el resultado como L (95,321±1)mm, ya que si tenemos incertidumbre del orden de 1mm, mal podemos asegurar el valor de las décimas, centésimas y milésimas del milímetro. Si el valor de L proviene de un promedio y el error es del orden del milímetro, se debe redondear el dígito donde primero cae el error.
Es usual expresar las incertidumbres con una sola cifra significativa, y solo en casos excepcionales y cuando existe fundamento para ello, se pueden usar más. También es usual considerar que la incertidumbre en un resultado de medición afecta a la última cifra si es que no se la indica explícitamente. Por ejemplo, si sólo disponemos de la información que una longitud es L=95mm, podemos suponer que la incertidumbre es del orden del milímetro y, como dijimos antes, el resultado de L tiene dos cifras significativas.
La asignación del error a una medida
Error de una magnitud que se mide una única vez
En este caso el mejor valor será simplemente el valor medido y el error vendrá dado por el error del instrumento. Entonces la medida será Z±ΔZ donde ΔZ = e instrumento.
Error de una magnitud que se mide directamente N veces
Un modo de minimizar la incidencia de los errores estadísticos, es realizar varias mediciones de aquello que se va a medir. Dado el carácter al azar de este tipo de errores es claro que, al promediar los resultados, el promedio estará menos afectado de las desviaciones estadísticas de los valores individuales.
- Si medimos 3 o más veces y la medición me da igual: la medida queda expresada como Z±ΔZ donde Z es el valor medido y ΔZ el error instrumental
- Si medimos 5 o más veces y la medición me da dentro del error del instrumento: la medida queda expresada como Z±ΔZ donde Z es el valor promedio de las mediciones y ΔZ el error instrumental.
- Si medimos 5 o más veces y las medidas me dan diferentes: la medida queda expresada como Z ± ΔZ donde Z es el valor promedio de las mediciones y ΔZ es la desviación estándar media que se obtiene con la calculadora (por el método de cuadrados mínimos).
Propagación de incertezas
Hay magnitudes que no se miden directamente, sino que se derivan de otras que sí son medidas en forma directa. Por ejemplo, para conocer el área de un rectángulo se miden las longitudes de sus lados, o para determinar el volumen de una esfera se tiene que medir el diámetro.
La pregunta que queremos responder aquí es cómo los errores en las magnitudes que se miden directamente se propagarán para obtener el error en la magnitud derivada (que se obtiene a través del cálculo).
Supongamos, para fijar ideas, que la magnitud V, es una función de los parámetros, x, y, z, etc., o sea: V = V(x,y,z,…) y que x, y, z, etc., sí se midieron directamente y que conocemos sus errores, a los que designamos en el modo usual como Δx, Δy, Δz, etc. Entonces se puede demostrar que el error en V vendrá dado por:
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Magnitud
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Se obtiene como
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Calculo del error
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V =V(x,y,z,…)
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x+y+z o x-y-z
(la formula es una suma o una resta)
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eabs(V)=
eabs(x)+ eabs(y)+eabs(z)
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V =V(x,y,z,…)
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x · y ·z ó x/y.z
(la formula es producto o división )
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erel(V)= erel(x)+ erel(y)+erel(z)
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Una vez que obtengo el erel, calculo el eabs(V)= erel· V
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V =V(x,y,z,…)
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A·x
A=constante
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eabs(V)= A · eabs(x)
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V =V(x,y,z,…)
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xn
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erel(V)= n · erel(x)
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eabs(V)= erel· V
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Ejemplo: Supongamos que queremos calcular la superficie de un triangulo, para ello medimos la base y la altura del triangulo. Si las medidas obtenidas fueron: base 12,3±0,2 cm y altura 15,3±0,3 cm, entonces la superficie será:
S = b · h ÷ 2
S =12,3 x15,3 ÷2 = 94,095 cm2
Debemos ahora saber cuál es el error de la superficie, para ello debemos calcular los errores relativos (es un producto y según la tabla se suman los errores relativos)
er = eabsoluto /medición, por lo tanto
er (base) = 0,2/12,3 =0,0163
er (altura)= 0,3/15,3 =0,0196
El error relativo de la superficie será la suma de los errores relativos dividido por 2
er (superficie) = ½ (0,0163 + 0,0196) = 0,01795
Puedo conocer ahora el error absoluto como error relativo x medida
eabsoluto(superficie) =0,01795 x 94,095 cm2 = 1,689 cm2 ≈2cm2 (usamos solo una cifra significativa para el error).
La medida de la superficie del triangulo entonces podemos escribirla como:
S= 94±2 cm2
Miremos que hemos cortado la cifra en donde el error me indicaba, si solo estoy seguro hasta la unidad no tiene sentido mantener los decimales y entonces aproximé por redondeo a la unidad.
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